Könntest du dieses mathematische Problem lösen, um dein Leben zu retten?
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Könntest du dieses mathematische Problem lösen, um dein Leben zu retten?

vor 2 Jahren

Habt ihr schon mal etwas vom Josephus-Problem gehört? Nein? Dann wird es Zeit. Das ist ein mathematisches Problem, in dem es im wahrsten Sinne des Wortes um Leben oder Tod geht.

Die schlimmsten Mathematik-Aufgaben sind ja bekanntlich die, die ziemlich einfach aussehen, den Kopf aber ganz schön zum Rauchen bringen werden. So auch das Josephus-Problem.

Flavius Josephus war ein römisch-jüdischer Geschichtsschreiber. Etwa 67 nach Christus versteckte er sich mit 40 weiteren Männern in einer Höhle vor den Römern. Sie wurden regelrecht eingekesselt. Niemals würden sich die Juden den Römern aber ergeben. Stattdessen beschlossen sie, Massen-Selbstmord begehen. Damit keiner seine Meinung in letzter Sekunde ändert, planten sie, sich gegenseitig umbringen. Die Soldaten stellten sich im Kreis auf. Eine Person fing an und tötete den Mann zu seiner Linken. Der nächste Soldat tötete wiederum den Mann links von ihm. Das ging so weiter. Immer im Uhrzeigersinn. Ist man wieder beim Anfang, geht es dort einfach weiter. Bis der Kreis immer kleiner und kleiner würde und nur noch eine Person übrig bleiben sollte. Die sollte sich selbst richten.

Josephus allerdings hing an seinem Leben. Und positionierte sich deshalb so, dass er der letzte war, der übrig bleibt. Dann könnte er sich den Römern ergeben und sie würden ihn am Leben lassen.

An welche Position im Kreis hätte er sich also stellen müssen, um nicht zu sterben?

Die Antwort ist: an die 19te. Das kriegt ihr entweder raus, indem ihr es aufmalt und einfach die einzelnen Männer durchstreicht, die ihr Leben lassen müssen. Oder ihr wendet Mathematik an. Das ist vor allem praktisch, wenn ihr die Position für eine unterschiedliche Anzahl an Soldaten herausfinden wollt.

Okay, fangen wir mal an. In der ersten Runde ist es noch einfach. Denn die erste Position fängt das Metzeln an. Das heißt, jeder, der auf einer geraden Position steht, stirbt direkt am Anfang. Also sollte man sich auf jeden Fall schon mal eine ungerade Position suchen. Ist der Kreis einmal um, wird es schon schwieriger. Denn eine neue Personenanzahl hat nun eine gerade Position. Jetzt kommt es darauf an, wie viele Personen ursprünglich im Kreis standen.

Ist die Anzahl das Ergebnis einer Zweierpotenz (also 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 usw.), solltet ihr die erste Position einnehmen. Also die, die das Morden startet. Bei zwei Personen tötet 1 die 2. Bei vier Personen tötet 1 die 2, 3 die 4 und dann wieder 1 die 3 usw. Die neue Runde startet immer mit dem ersten Soldaten. Und nach jeder Runde halbiert sich die Anzahl der übrigen Soldaten. Ihr gewinnt also definitiv, wenn ihr auf Position 1 steht und die Gesamtanzahl eine Zweierpotenz ist.

Das ändert sich allerdings, wenn die Gesamtanzahl der Soldaten keine Zweierpotenz ist. Denn mit jeder neuen Runde ändert sich die Position. Sind beispielsweise nur fünf Soldaten beteiligt, tötet der erste den zweiten, der dritte den vierten und der fünfte den ersten und schon klappt es nicht mehr.

Und in unserem Beispiel haben wir den Fall, dass unsere Gesamtanzahl keine Zweierpotenz ist. Wir haben 41 Soldaten und wissen, dass wir an 19ter Position stehen müssen, um als Letzter übrig zu bleiben. Das Wissen rund um die Zweierpotenzen bringt uns zu dieser Lösung. Aber wie kommen wir da hin? Dafür gibt es eine Formel: (2 x l) + 1.

In der Klammer haben wir zum einen die 2, da jeder zweite Soldat fallen soll. Das „l“ ist eine Extra-Zahl. Sie gibt an, wie weit die Gesamtanzahl an Soldaten von der nächsten Zweierpotenz entfernt ist. Also: Wir haben 41 Soldaten. Die nächstliegende Zweierpotenz ist die 32. Von dieser Zweierpotenz rechnen wir aus, wie groß der Abstand zu unserer tatsächlichen Anzahl ist. Und das ist 41 – 32 = 9. Diese neun Personen mehr sind unsere Extra-Zahl „l“.

Die „1“ steht für Josephus selbst, denn er muss ja das Zünglein an der Waage sein und auf jeden Fall eine ungerade Position einnehmen, um am Ende übrig zu bleiben. Denn das Produkt in der Klammer wird immer eine gerade Zahl ergeben. Deshalb die 1.

Gebt ihr die 9 also in eure Formel ein, erhaltet ihr (2 x 9) + 1 = 19. So könnt ihr das beliebig für jede Anzahl an Soldaten herausfinden. Die gewinnende Position ist übrigens immer ungerade.

Wer es noch nicht verstanden hat, sollte sich das Video von der University of Wisconsin-Madison anschauen:

Wenn man übrigens jede mögliche Anzahl von Soldaten einzeln durchgeht, fällt einem schon auf, dass es ein Muster gibt. Die Gewinner-Position überspringt immer zwei und kommt bei jeder Zweierpotenz zurück auf 1.

Josephus

Das Josephus-Problem
Ein Muster zeichnet sich ab.
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Aber ihr kommt noch schneller auf die Position 19. Habt ihr die Differenz zur naheliegendsten Zweierpotenz (in unserem Fall 9), zählt ihr die Anzahl an Schritten ab. Das heißt, ihr mordet neun Mal und landet bei Position 19. Das, was an Soldaten übrig bleibt, ist eine Zweierpotenz. Und wir wissen: Immer, wenn eine Zweierpotenz übrig bleibt, gewinnt derjenige, der anfängt. Und das ist in diesem Fall Position 19.

Okay, wem das jetzt zu viel war, der freut sich einfach, dass Josephus noch bis 100 nach Christus gelebt hat. Er war eben sehr clever.

Wollt ihr noch ein paar Mathe-Tipps? Dann solltet ihr euch diese Rechen-Genies aus Indien nicht entgehen lassen. Die haben nämlich eine ganz clevere Methode fürs Kopfrechnen entwickelt:

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